转载自：http://www.cnblogs.com/miloyip/archive/2010/02/25/1673114.html
昨天花了一个晚上为《编程之美》，在豆瓣写了一篇书评《迟来的书评和感想──给喜爱编程的朋友》。书评就不转载到这里了，取而代之，在这里介绍书里其中一条问题的另一个解法。这个解法比较简短易读及降低了空间复杂度，或者可以说觉得比较「美」吧。
问题定义
如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，我们姑且定义"距离"为两节点之间边的个数。写一个程序求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。
书上的解法
书中对这个问题的分析是很清楚的，我尝试用自己的方式简短覆述。
计算一个二叉树的最大距离有两个情况:
情况A: 路径经过左子树的最深节点，通过根节点，再到右子树的最深节点。
情况B: 路径不穿过根节点，而是左子树或右子树的最大距离路径，取其大者。
只需要计算这两个情况的路径距离，并取其大者，就是该二叉树的最大距离。
我也想不到更好的分析方法。
但接着，原文的实现就不如上面的清楚 (源码可从这里下载):
view sourceprint?01 // 数据结构定义
02 struct NODE
03 {
04 NODE* pLeft; // 左子树
05 NODE* pRight; // 右子树
06 int nMaxLeft; // 左子树中的最长距离
07 int nMaxRight; // 右子树中的最长距离
08 char chValue; // 该节点的值
09 };
10
11 int nMaxLen = 0;
12
13 // 寻找树中最长的两段距离
14 void FindMaxLen(NODE* pRoot)
15 {
16 // 遍历到叶子节点，返回
17 if(pRoot == NULL)
18 {
19 return;
20 }
21
22 // 如果左子树为空，那么该节点的左边最长距离为0
23 if(pRoot -> pLeft == NULL)
24 {
25 pRoot -> nMaxLeft = 0;
26 }
27
28 // 如果右子树为空，那么该节点的右边最长距离为0
29 if(pRoot -> pRight == NULL)
30 {
31 pRoot -> nMaxRight = 0;
32 }
33
34 // 如果左子树不为空，递归寻找左子树最长距离
35 if(pRoot -> pLeft != NULL)
36 {
37 FindMaxLen(pRoot -> pLeft);
38 }
39
40 // 如果右子树不为空，递归寻找右子树最长距离
41 if(pRoot -> pRight != NULL)
42 {
43 FindMaxLen(pRoot -> pRight);
44 }
45
46 // 计算左子树最长节点距离
47 if(pRoot -> pLeft != NULL)
48 {
49 int nTempMax = 0;
50 if(pRoot -> pLeft -> nMaxLeft > pRoot -> pLeft -> nMaxRight)
51 {
52 nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxLeft;
53 }
54 else
55 {
56 nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxRight;
57 }
58 pRoot -> nMaxLeft = nTempMax + 1;
59 }
60
61 // 计算右子树最长节点距离
62 if(pRoot -> pRight != NULL)
63 {
64 int nTempMax = 0;
65 if(pRoot -> pRight -> nMaxLeft > pRoot -> pRight -> nMaxRight)
66 {
67 nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxLeft;
68 }
69 else
70 {
71 nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxRight;
72 }
73 pRoot -> nMaxRight = nTempMax + 1;
74 }
75
76 // 更新最长距离
77 if(pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight > nMaxLen)
78 {
79 nMaxLen = pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight;
80 }
81 }
这段代码有几个缺点:
算法加入了侵入式(intrusive)的资料nMaxLeft, nMaxRight
使用了全局变量 nMaxLen。每次使用要额外初始化。而且就算是不同的独立资料，也不能在多个线程使用这个函数
逻辑比较复杂，也有许多 NULL 相关的条件测试。
我的尝试
我认为这个问题的核心是，情况A 及 B 需要不同的信息: A 需要子树的最大深度，B 需要子树的最大距离。只要函数能在一个节点同时计算及传回这两个信息，代码就可以很简单:
view sourceprint?01 #include <iostream>
02
03 using namespace std;
04
05 struct NODE
06 {
07 NODE *pLeft;
08 NODE *pRight;
09 };
10
11 struct RESULT
12 {
13 int nMaxDistance;
14 int nMaxDepth;
15 };
16
17 RESULT GetMaximumDistance(NODE* root)
18 {
19 if (!root)
20 {
21 RESULT empty = { 0, -1 }; // trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero.
22 return empty;
23 }
24
25 RESULT lhs = GetMaximumDistance(root->pLeft);
26 RESULT rhs = GetMaximumDistance(root->pRight);
27
28 RESULT result;
29 result.nMaxDepth = max(lhs.nMaxDepth + 1, rhs.nMaxDepth + 1);
30 result.nMaxDistance = max(max(lhs.nMaxDistance, rhs.nMaxDistance), lhs.nMaxDepth + rhs.nMaxDepth + 2);
31 return result;
32 }
计算 result 的代码很清楚；nMaxDepth 就是左子树和右子树的深度加1；nMaxDistance 则取 A 和 B 情况的最大值。
为了减少 NULL 的条件测试，进入函数时，如果节点为 NULL，会传回一个 empty 变量。比较奇怪的是 empty.nMaxDepth = -1，目的是让调用方 +1 后，把当前的不存在的 (NULL) 子树当成最大深度为 0。
除了提高了可读性，这个解法的另一个优点是减少了 O(节点数目) 大小的侵入式资料，而改为使用 O(树的最大深度) 大小的栈空间。这个设计使函数完全没有副作用(side effect)。
测试代码
以下也提供测试代码给读者参考 (页数是根据第7次印刷，节点是由上至下、左至右编号):
view sourceprint?01 void Link(NODE* nodes, int parent, int left, int right)
02 {
03 if (left != -1)
04 nodes[parent].pLeft = &nodes[left];
05
06 if (right != -1)
07 nodes[parent].pRight = &nodes[right];
08 }
09
10 void main()
11 {
12 // P. 241 Graph 3-12
13 NODE test1[9] = { 0 };
14 Link(test1, 0, 1, 2);
15 Link(test1, 1, 3, 4);
16 Link(test1, 2, 5, 6);
17 Link(test1, 3, 7, -1);
18 Link(test1, 5, -1, 8);
19 cout << "test1: " << GetMaximumDistance(&test1[0]).nMaxDistance << endl;
20
21 // P. 242 Graph 3-13 left
22 NODE test2[4] = { 0 };
23 Link(test2, 0, 1, 2);
24 Link(test2, 1, 3, -1);
25 cout << "test2: " << GetMaximumDistance(&test2[0]).nMaxDistance << endl;
26
27 // P. 242 Graph 3-13 right
28 NODE test3[9] = { 0 };
29 Link(test3, 0, -1, 1);
30 Link(test3, 1, 2, 3);
31 Link(test3, 2, 4, -1);
32 Link(test3, 3, 5, 6);
33 Link(test3, 4, 7, -1);
34 Link(test3, 5, -1, 8);
35 cout << "test3: " << GetMaximumDistance(&test3[0]).nMaxDistance << endl;
36
37 // P. 242 Graph 3-14
38 // Same as Graph 3-2, not test
39
40 // P. 243 Graph 3-15
41 NODE test4[9] = { 0 };
42 Link(test4, 0, 1, 2);
43 Link(test4, 1, 3, 4);
44 Link(test4, 3, 5, 6);
45 Link(test4, 5, 7, -1);
46 Link(test4, 6, -1, 8);
47 cout << "test4: " << GetMaximumDistance(&test4[0]).nMaxDistance << endl;
48 }
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2010/3/12 18:10:00
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